В 1972 году Владимир Конкин окончил театральное училище, и поступил на работу в Харьковский ТЮЗ. В 1973 году он перебрался вАкадемический театр им. Моссовета, где проработал около года. Уже с 1974 года Владимир стал работать актёром на киностудии им. Довженко.
Первая же работа Владимира Конкина в кино — роль Павла Корчагина в телефильме Николая Мащенко «Как закалялась сталь» — мгновенно принесла начинающему актёру широкую известность и официальное признание (в 1974 году актёр был отмечен премией Ленинского комсомола). Павка в исполнении Конкина отличался от прежних экранных Корчагиных большим лиризмом, романтичностью и интеллигентностью.
На Владимира обрушилось множество предложений от разных режиссёров. Как это часто бывает, многие пытались поэксплуатировать удачно найденный типаж. От многих предложений актёру приходилось отказываться, но без работы он не сидел.
За период с 1974 по 1978 год он снялся в ряде интересных картин. При этом, оставаясь в рамках романтичного героя, Конкин старался не повторяться. У Андрея Кончаловского в мелодраме «Романс о влюбленных» актёр сыграл Никитина-младшего, у Бориса Ивченко в фильме «Марина» — поручика Бориса Извольского, в телефильме Георгия Калатозишвили «Кавказская повесть» — Дмитрия Оленина, а в детском телесериале Артура Войтецкого «Волны Черного моря» — подпоручика Костю.
Конкину, не служившему из-за болезни в армии, по иронии часто доставались именно армейские роли. И именно эти роли — в числе его наиболее удачных работ. Одна из таких ролей — младший лейтенант Суслин в драме Леонида Быкова «Аты-баты, шли солдаты…». Персонаж Конкина — интеллигентен и лиричен и, вместе с тем, не лишен комических красок.
Ещё один взлет популярности актёр пережил, сыграв в 1979 году Володю Шарапова в фильме Станислава Говорухина «Место встречи изменить нельзя». Фильм не потерял свою актуальность и спустя десятилетия.
В 1979 году Владимир Конкин был приглашен в московский театр им. Ермоловой. Одной из первых работ в новом театре стала роль Володи Ульянова в спектакле «Казанский университет», за которую Конкин был в том же году отмечен премией Ленинского Комсомола Коми АССР. Впоследствии на сцене этого театра им были сыграны романтические и героические роли в спектаклях: «Батальоны просят огня», «Товарищи-граждане», «Старший сын».
Конкин продолжал работать в кино. В своих экранных работах он доказал, что его актёрский диапазон может быть ещё более широким. Очень интересными были его работы в картинах режиссёра Вячеслава Никифорова. Так в телефильме «Отцы и дети» Конкин сыграл Аркадия Кирсанова, акцентируя внимание на драме увядающего дворянского сословия, а в фильме «Благородный разбойник Владимир Дубровский» — острохарактерную роль заседателя Шабашкина. Небольшой, но заметной работой стал его доктор Робинсон в «Приключения Тома Сойера и Гекльберри Финна» Станислава Говорухина.
В 1988 году Владимир Конкин вновь сменил место работы — перешёл в театр-студию под руководством Е. Радомысленского. Переходить из театра в театр актёра толкал неустанный поиск разнообразия. Проработав здесь до 1991 года, Конкин пришёл в театр «Вернисаж», где наряду с актёрской работой пробовал заниматься режиссурой. В 1995 году он пришёл в труппу театра «Содружество актёров Таганки», где сыграл Захара Бардина в спектакле «Враги» по пьесе Максима Горького.
С возрастом Владимир Конкин все более отходил от романтических ролей, тяготея к острохарактерным, а порой и комическим работам. Таким, например, был его персонаж (муж главной героини) в фильме «Принцесса на бобах».
В настоящее время Владимир Конкин снимается в кино редко. Но периодически он все же радует своих поклонников новыми работами. В 2001 году он сыграл полковника Кобылянского в историческом фильме «Романовы — Венценосная семья».
Владимир Конкин участвует в озвучании зарубежных фильмов, также принимал участие в переозвучании многих советских мультфильмов («Царевна-лягушка»). Вёл телепередачу «Домашняя библиотека» (ОРТ).