Родился 31 мая 1933 года в Перми.
Отец, Иван Григорьевич, работал на Мотовилихе — старинном заводском районе Перми. Начал с рабочего, поднялся до главного механика завода. Характер имел мягкий, доброжелательный.
Мать, Мария Сергеевна, всегда была для сына самым близким человеком и лучшим другом.
Учился на юридическом факультете Пермского университета (1952-1956), в вечерней студии при Пермском драматическом театре (1955-1958). Попытки покорить театральные ВУЗы Москвы окончились неудачей.
Работал в театрах Березников, Перми, Кемерове. В Кемерово его увидела известная московская театральная журналистка и, вернувшись в Москву, рассказала о самобытном актёре своему знакомому — главному режиссёру Театра имени Станиславского Борису Львову-Анохину. Он и пригласил Буркова в Москву, в свой театр на худсовет. Так 32-летний актёр, без специального образования, стал артистом столичного театра.
С 1965 года — актёр драматического театра имени К.С. Станиславского.
В 1970-1971 годах — актёр театра «Современник».
С 1980 года — артист МХАТ имени Горького.
В 1984-1987 годах — актёр театра имени А.С. Пушкина.
С 1988 по 1990 год — художественный руководитель Центра культуры имени В.М. Шукшина.
Заслуженный артист РСФСР (1980).
Жена — актриса Драматического театра имени Станиславского Татьяна Ухарова (19.04.1946).
Дочь — актриса этого же театра Мария Буркова (21.05.1966).
Георгий Бурков ушёл из жизни вечером 19 июля 1990 года в Первой градской больнице Москвы.
Произошло это при следующих обстоятельствах.
Летом 1990 года Эльдар Рязанов приступил к съёмкам своего нового фильма «Небеса обетованные» и предложил Буркову сыграть в нём одну из главных ролей. Актёр очень обрадовался этому событию и стал тщательно готовиться к новой роли. В один из июльских дней Бурков изучал материал своего будущего героя, когда случилась трагедия. Он упал дома в собственной библиотеке, потянувшись за книжкой на верхней полке, но облокотился на журнальный столик на колёсах, не удержался и, упав на подлокотник дивана, сломал бедро. Перелом спровоцировал отрыв тромба. Ему сделали в больнице операцию, но на третьи сутки злосчастный тромб попал в лёгочную артерию.
Похоронили актёра на Ваганьковском кладбище (участок № 13). Гранитный крест на могиле Буркова сделан из того же куска гранита, что и памятник его близкому другу Василию Шукшину (1929-1974).